한계와 로그 – 개인화된 지출 및 저축

개인 재정의 많은 부분은 장기적인 사고에 초점을 맞추고 있습니다: 원하는 라이프스타일을 살기 위해 충분한 돈을 저축할 수 있도록 예산을 세우고, 편안하게 은퇴하는 것입니다.

하지만 각 개인에게 “원하는 라이프스타일”과 “편안하게 은퇴하기”는 매우 다른 의미를 가질 수 있습니다. 결국, 각 개인은 매달 얼마나 지출(소비)할 것인지와 얼마나 저축(투자)할 것인지에 대한 결정을 내립니다.

이러한 거래의 이면에 있는 사고 과정을 이해함으로써, 자신의 지출에 대한 더 명확한 그림을 얻을 수 있습니다. 이는 실제 지출이 의도한 지출과 일치하도록 보장하는 데 도움이 될 것입니다.

소비 모델링 – 규모에 대한 감소하는 수익

재무 수학의 많은 부분은 지수 성장에 초점을 맞추고 있습니다 – 투자 수익이 이자율에 따라 어떻게 성장하는지, 저축 계좌가 시간이 지남에 따라 어떻게 성장하는지, 또는 장기적인 부를 어떻게 구축하는지에 대한 것입니다. 지수 함수는 상승 곡선을 가지고 있습니다 – 투자는 시간이 지남에 따라 커집니다:

하지만 저축 대신 지출할 때, 지출하는 각 달러에 대해 얻는 이익은 그런 상승 곡선을 가지지 않습니다. 대신, 경제학자들은 소비가 규모에 대한 감소하는 수익을 가진다고 말합니다.

이렇게 생각해 보세요 – 두 개의 아파트가 임대 중입니다. 하나는 침실이 하나 있고, 가전제품은 30년 된 것이며, 욕실은 작고, 주방에는 테이블을 놓을 공간도 없습니다. 이 아파트는 월세가 $500로 나와 있습니다.

두 번째 아파트는 새 가전제품이 있고, 별도의 욕조와 샤워기가 있는 넓은 욕실이 있으며, 주방에는 테이블과 아침 식사 바를 위한 공간이 있는 화강암 조리대가 있습니다. 이 아파트는 월세가 $1,500로 나와 있습니다.

두 번째 아파트는 월 $1,000 더 가치가 있을 수 있습니다. 하지만 아파트를 소유함으로써 얻는 가치(밤에 잘 곳, 소지품을 안전하게 보관할 곳, 음식을 요리하고 먹을 곳 등)가 가장 중요한 부분입니다. 더 비싼 아파트에서 얻는 다양한 편의 시설을 나누어 보려고 한다면, 모든 가치가 어디에서 오는지 이렇게 보일 수 있습니다:

총 가치의 대부분은 기본적인 것에서 옵니다. 이는 추가적인 것들이 가치가 없다는 의미는 아닙니다 – 여기에는 달러 기호가 없고, 단지 얼마나 많은 가치를 얻고 있는지에 대한 것입니다.

경제학에서 이 개념은 효용이라고 불립니다 – 재화나 서비스 소비에서 얻는 만족이나 이익입니다. 지출이 증가함에 따라 곡선이 평평해지는 것을 알 수 있습니다. 이를 수학적으로 모델링하기 위해 우리는 지수 대신 로그를 사용합니다.

로그란 무엇인가요?

로그는 지수와 관련하여 나눗셈이 곱셈과 관련되는 것과 같은 방식으로 생각할 수 있습니다 – 그것은 반대의 수학적 함수입니다. 다시 말해,

2^3 = 8이면, 3은 2를 밑으로 하는 8의 로그입니다.

경제학과 금융에서 로그는 지출에 대한 이러한 감소하는 수익을 보여주는 데 유용합니다. 예를 들어, 특정 월 동안 소비에 대한 효용을 보여주는 그래프를 만들고 싶다면, 그래프는 다음과 같이 보일 수 있습니다:

지출을 로그와 효용의 맥락에서 놓으면, 우리는 장기적인 지출 및 저축 결정을 순수하게 수학적으로 살펴볼 수 있습니다.

돈의 시간 가치 – 할인율

돈의 시간 가치는 미래의 1달러가 오늘의 1달러보다 가치가 낮다는 사실을 의미합니다. 이는 지금과 미래 사이에 그 1달러를 사용하여 무언가를 할 수 있었고, 그 기회가 지나갔을 수 있기 때문입니다.

돈의 시간 가치를 수학적으로 설명하고자 할 때, 우리는 할인율이라는 것을 사용합니다. 할인율은 0과 1 사이의 간단한 숫자로, 다음 질문에 답합니다:

1개월 후에 1달러를 얻기 위해 오늘 얼마나 포기하시겠습니까?

각 개인의 할인율은 다릅니다 – 이는 개인의 선호가 단기적인지 장기적인지를 나타냅니다. 예상할 수 있듯이, 높은 할인율(예: 0.9)을 가진 사람은 낮은 할인율(예: 0.3)을 가진 사람보다 저축할 가능성이 훨씬 더 높습니다. 이는 낮은 할인율을 가진 사람이 지금 그 돈을 가지는 것을 매우 중요하게 여기기 때문에, 기다리는 대신 즉시 얻기 위해 70%의 가치를 포기할 의향이 있기 때문입니다.

할인율은 일반적으로 그리스 문자 β로 표현됩니다. 따라서 개인의 할인율이 0.95라면, 우리는 β = 0.95라고 말합니다.

할인율과 지수

자신의 개인 할인율을 식별할 수 있게 되면, 그 달러가 더 먼 미래에 있을 때 얼마나 받을 것인지도 지수를 사용하여 계산할 수 있습니다.

미래에 계산하고자 하는 기간만큼 베타를 지수로 올림으로써, 우리는 그 달러가 오늘 얼마나 가치가 있는지를 말할 수 있습니다. 다시 말해, β ^t = 지금으로부터 t개월 후의 1달러와 교환하기 위해 오늘 기꺼이 받을 금액입니다.

우리의 예에서 β = 0.95일 때, 다음 해에 1달러의 가치는 다음과 같습니다:

이는 당신의 β가 0.95라면, 1년 후에 1달러를 희생하기 위해 0.54달러를 기꺼이 받을 것이라는 의미입니다.

이제 로그와 할인율의 개념을 이해했으니, 장기적인 저축 및 소비 결정이 무엇을 의미하는지 함께 살펴볼 수 있습니다!

평생 효용

개인 재무 수업에서 배우는 대부분은 미래를 위해 저축하는 것, 특히 은퇴에 관한 것입니다. 하지만 그것이 당신의 인생에서 진정한 재정 목표는 아닙니다. 당신은 총 평생 효용을 극대화하고 싶어합니다. 이것이 아무도 모든 돈을 저축하지 않는 이유입니다. 당신은 오늘 소비로부터의 이익(또는 효용)과 미래에 소비할 수 있도록 부를 늘리는 것(복리의 힘을 통해)을 균형 있게 조절하고 있습니다.

이는 당신의 인생의 매달마다 그 달의 수입과 그때까지 축적한 모든 저축이 있다는 것을 의미합니다. 이 결합된 자원이 당신이 사용할 수 있는 것입니다. 당신은 이 자원 중 얼마나 소비(또는 사용)하고 얼마나 저축(또는 투자)할지를 의식적으로 결정합니다. 또한 당신의 저축이 시간이 지남에 따라 얼마나 성장할 것인지에 대한 이자율에 대한 이해도 가지고 있습니다. 수학적으로, 당신은 c와 i를 선택하고 있습니다:

I + (s x (1 + r)) = c + i

여기서 이 변수들은 다음을 의미합니다:

• I = 이번 달의 수입
• s = 이번 달 시작 시 이미 저축/투자한 금액
• r  = 당신의 저축이 성장하는 이자율. 따라서 지난 달의 저축은 이번 달 시작 시 지난 달보다 조금 더 늘어날 것입니다.
• c = 이번 달 소비/지출하는 금액
• i = 이번 달 저축/투자하는 금액

소비로부터 얻는 이익은 소비의 로그를 취함으로써 표현할 수 있습니다:

효용 = log(c)

당신은 총 평생 효용을 극대화하기 위해 각 기간에 얼마나 소비(그리고 결과적으로 저축)할지를 결정해야 합니다. 현재 순간의 행복뿐만 아니라 말이죠. 할인율과 지수를 사용하여, 우리는 미래의 어떤 기간에서 소비로부터 얻을 효용을 계산한 다음, 모두 합산할 수 있습니다.

총 평생 효용 =

한계 – 유용성과 할인은 제로에 접근한다

처음에는 이것이 무한할 것처럼 보입니다 – 우리는 무한한 수를 더하고 있으므로, 계속해서 커질 수 있습니다. 그러나 t가 계속 증가하기 때문에, 먼 미래에 적용되는 할인은 제로에 매우 가까워지기 시작합니다.

예를 들어, β = 0.95일 경우, 20년 후의 할인율은 0.0000045까지 떨어집니다. 미래로 갈수록 할인율은 0에 가까워집니다. 평생 소비의 정확한 최대량을 절대적인 정밀도로 계산하는 것은 불가능할 수 있지만(이론적으로 무한한 소수 자리를 포함할 수 있으므로), 우리는 평생 동안 달성 가능한 총 소비량에 대한 상한선이 존재한다고 자신 있게 말할 수 있습니다.

한계는 이러한 상한선과 하한선을 정의하는 데 사용됩니다. t가 무한대로 증가함에 따라 할인율의 하한선은 0이라고 안전하게 말할 수 있습니다 – 할인율은 0에 접근하지만 결코 도달하지는 않을 것입니다. 총 평생 유용성의 상한선도 계산할 수 있지만(이를 위해서는 고급 미적분학이 필요하며, 이는 이 수업의 일부가 아닙니다).

할인율과 이자율 – 저축 선택하기

모든 수학을 넘어서 보면, 실제로 우리가 볼 수 있는 것은 소비 또는 저축의 결정이 실제로 두 가지 변수에 기반한다는 것입니다:

1. 자신의 개인 할인율 (또는 β)
2. 투자 성장 정도를 결정하는 이자율 r

저축에 대해 동일한 투자 수익을 기대하는 두 사람이 있지만, 한 사람은 큰 저축가이고 다른 한 사람은 큰 소비자라면, 우리는 저축가가 소비자보다 더 높은 β를 가지고 있다고 말할 수 있습니다 – 우리는 실제 숫자를 사용하여 누군가가 얼마나 저축가인지 또는 소비자인지를 정량화할 수 있습니다.

이자율에 대한 강한 이해는 재정적 문해력에 매우 중요합니다. 만약 당신의 유일한 저축 옵션이 낮은 이자율의 저축 계좌(아마도 연 3%만 제공하는)라면, 장기 저축 목표를 우선시할 가능성이 낮아집니다. 이는 당신이 주식 시장과 같은 더 높은 위험, 더 높은 보상의 투자 가능성을 완전히 이해하지 못할 수 있기 때문입니다.

궁극적으로 재정적 문해력의 가장 중요한 측면은 당신에게 제공되는 투자 옵션을 인식하고, 개인의 상황과 위험 감수성에 따라 정보에 기반한 결정을 내리는 것입니다.

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