Límites y registros: gastos y ahorros personalizados
Gran parte de las finanzas personales se centra en el pensamiento a largo plazo: elaborar un presupuesto que le permita ahorrar lo suficiente para vivir el estilo de vida que desea y jubilarse con comodidad.
Pero para cada persona, “el estilo de vida que desea” y “jubilarse con comodidad” pueden significar cosas muy diferentes. Al final, cada mes que trabaja, cada persona decide cuánto va a gastar (o consumir) y cuánto va a ahorrar (o invertir).
Al comprender el proceso de razonamiento detrás de esta disyuntiva, puede tener una visión más clara de sus propios gastos. Esto le ayudará a garantizar que sus gastos reales coincidan con sus gastos previstos.
Modelado del Consumo: Rendimientos Decrecientes a Escala
Gran parte de las matemáticas financieras se centra en el crecimiento exponencial: cómo crece una inversión en función de una tasa de interés, cómo crece una cuenta de ahorros con el tiempo o cómo generar riqueza a largo plazo. Las funciones exponenciales tienen una curva ascendente: las inversiones aumentan con el tiempo.
Pero cuando gastas en lugar de ahorrar, el beneficio que obtienes por cada dólar que gastas no sigue esa curva ascendente. En cambio, los economistas afirman que el consumo tiene rendimientos decrecientes a escala.
Piénsalo así: ves dos apartamentos en alquiler. Uno tiene una habitación, los electrodomésticos tienen 30 años, el baño es diminuto y la cocina ni siquiera tiene espacio para una mesa. Este apartamento tiene un alquiler de $500 al mes.
El segundo apartamento tiene electrodomésticos nuevos, un baño espacioso con bañera y ducha separadas, y la cocina tiene encimeras de granito con espacio para una mesa y una barra de desayuno. Este tiene un alquiler de $1,500 al mes.
Ahora bien, el segundo apartamento bien podría valer $1,000 más al mes. Pero el valor que recibes por tener un apartamento (un lugar para dormir por la noche, guardar tus pertenencias de forma segura, cocinar y comer, etc.) es lo más importante. Si intentaras separar todos los diferentes servicios que obtienes con el apartamento más caro para ver de dónde proviene todo el valor, podría verse así:
La mayor parte del valor total proviene de lo básico. Esto no significa en absoluto que los extras no valgan la pena: no hay signos de dólar, solo el valor que se obtiene.
En economía, este concepto se denomina utilidad: la satisfacción o el beneficio derivado del consumo de bienes o servicios. Observarás que la curva se aplana a medida que aumenta el gasto. Para representar esto matemáticamente, utilizamos logaritmos en lugar de exponentes.
¿Qué es un logaritmo?
Los logaritmos se relacionan con los exponentes de la misma manera que la división se relaciona con la multiplicación: es la función matemática opuesta. En otras palabras,
Si 2^3 = 8, entonces 3 es el logaritmo de 8 en base 2.
En economía y finanzas, los logaritmos son útiles para mostrar estos rendimientos decrecientes a escala del gasto. Por ejemplo, si queremos crear una gráfica que muestre la utilidad recibida por el consumo durante un mes determinado, la gráfica podría verse así:
Una vez que ponemos nuestros gastos en el contexto de los logaritmos y la utilidad, podemos comenzar a analizar las decisiones de gasto y ahorro a largo plazo desde un punto de vista puramente matemático.
Valor Temporal del Dinero – Tasas de Descuento
El Valor Temporal del Dinero se refiere a que un dólar en el futuro vale menos que un dólar hoy. Esto se debe a que, entre ahora y el futuro, podría haber usado ese dólar para hacer algo, y esa oportunidad podría haber pasado.
Para describir matemáticamente el Valor Temporal del Dinero, utilizamos la tasa de descuento. La tasa de descuento es un número simple entre 0 y 1 que responde a esta pregunta:
¿Cuánto renunciarías hoy para obtener $1 en un mes?
La tasa de descuento de cada persona es diferente: se refiere al corto o largo plazo de sus preferencias personales. Como es de esperar, una persona con una tasa de descuento alta (por ejemplo, 0,9) tiene muchas más probabilidades de ahorrar que alguien con una tasa de descuento baja (por ejemplo, 0,3). Esto se debe a que una persona con una tasa de descuento baja valora mucho tener ese dinero ahora mismo, por lo que está dispuesta a renunciar al 70 % de su valor para obtenerlo inmediatamente en lugar de esperar.
La tasa de descuento se suele expresar con la letra griega β. Por lo tanto, si su tasa de descuento personal es 0,95, diríamos que β = 0,95.
Tasas de Descuento y Exponentes
Una vez que identifiques tu propia tasa de descuento, también puedes usarla para calcular cuánto aceptarías por ese dólar si el precio se encuentra aún más lejos en el futuro mediante exponentes.
Al aumentar tu beta en un exponente igual al futuro que queremos calcular, podemos determinar cuánto vale ese dólar hoy. En otras palabras, β ^t = cuánto estarías dispuesto a aceptar hoy a cambio de un dólar dentro de t meses.
En nuestro ejemplo de β = 0,95, esto es lo que vale un dólar durante el próximo año:
| Meses en el futuro | ¿Cuánto estarías dispuesto a pagar hoy por sacrificar $1 en el futuro? |
| 1 | $ 0.95 |
| 2 | $ 0.90 |
| 3 | $ 0.86 |
| 4 | $ 0.81 |
| 5 | $ 0.77 |
| 6 | $ 0.74 |
| 7 | $ 0.70 |
| 8 | $ 0.66 |
| 9 | $ 0.63 |
| 10 | $ 0.60 |
| 11 | $ 0.57 |
| 12 | $ 0.54 |
Esto significa que si tu β = 0,95, estarías dispuesto a aceptar $0,54 para sacrificar un dólar dentro de un año.
Ahora que conocemos el concepto de logaritmos y tasas de descuento, podemos combinarlos para ver qué significan para las decisiones de ahorro y gasto a largo plazo.
Utilidad a lo Largo de la Vida
La mayor parte de lo que aprendes en una clase de finanzas personales se centra en ahorrar para el futuro, especialmente para la jubilación. Pero ese no es realmente tu objetivo financiero en la vida; lo que realmente quieres es maximizar tu utilidad total a lo largo de la vida. Por eso nadie ahorra cada centavo: estás equilibrando el beneficio (o utilidad) de gastar hoy con el crecimiento de tu patrimonio (mediante el poder del interés compuesto) para poder gastarlo en el futuro.
Esto significa que cada mes de tu vida, tienes tus ingresos de ese mes, más todos los ahorros que has acumulado hasta entonces. Estos recursos combinados son con los que tienes que trabajar. Tú decides conscientemente cuánto de estos recursos gastarás (o consumirás) y cuánto ahorrarás (o invertirás). También comprendes la tasa de interés a la que crecerán tus ahorros con el tiempo. En términos matemáticos, estás eligiendo c e i donde:
I + (s x (1 + r)) = c + i
Dónde se refieren estas variables:
- I = tus ingresos este mes
- s = cuánto ya tienes ahorrado/invertido al inicio del mes
- r = La tasa de interés con la que crecen tus ahorros. Así que, a principios de este mes, tus ahorros del mes pasado habrán crecido un poco más que el mes pasado.
- c = Cuánto consumes/gastas este mes
- i =Cuánto ahorras/inviertes este mes
El beneficio que obtienes del consumo se puede expresar mediante el logaritmo de tu consumo:
Utilidad = log(c)
Necesitas determinar cuánto gastar (y, en consecuencia, ahorrar) en cada período para maximizar tu utilidad total a lo largo de tu vida, no solo tu felicidad en el presente. Utilizando tu tasa de descuento y exponentes, podemos calcular la utilidad que obtendrás del consumo en cualquier período futuro y luego sumarlas todas.
Utilidad total de por vida =
Límites: Utilidad y descuentos se acercan a cero
A primera vista, parece que esto podría ser infinito: estamos sumando números infinitos, por lo que podría crecer indefinidamente. Sin embargo, como t sigue creciendo, significa que el descuento aplicado en un futuro lejano empieza a acercarse MUCHO a cero.
Por ejemplo, incluso si β = 0,95, la tasa de descuento en 20 años llega hasta 0,0000045. Cuanto más lejos en el futuro se encuentre, más cerca de 0 se vuelve la tasa de descuento. Si bien el consumo máximo exacto a lo largo de la vida puede ser imposible de calcular con absoluta precisión (ya que teóricamente podría implicar un número infinito de decimales), podemos afirmar con seguridad que existe un límite superior para el consumo total alcanzable a lo largo de la vida.
Los límites se utilizan para definir estos límites ascendentes y descendentes. Podemos afirmar con seguridad que la tasa de descuento tiene un límite inferior de 0 a medida que t continúa creciendo hasta el infinito: seguirá acercándose a 0, pero nunca lo alcanzará. El límite superior de la utilidad total a lo largo de la vida también se puede calcular (aunque hacerlo requiere cálculos avanzados, que no forman parte de esta lección).
Tasas de descuento y tasas de interés: Elegir ahorrar
Más allá de las matemáticas, lo que realmente podemos ver es que la decisión de gastar o ahorrar se basa únicamente en dos variables:
- Su propia tasa de descuento personal (o β)
- La tasa de interés r, que determina cuánto crecerán sus inversiones
Si hay dos personas que esperan el mismo retorno de la inversión por sus ahorros, pero observamos que una persona es un gran ahorrador y la otra un gran gastador, podemos decir que el ahorrador tiene un β mayor que el gastador – podemos usar un número real para cuantificar CUÁNTO ahorrador o gastador es alguien.
Comprender bien las tasas de interés es crucial para la educación financiera. Si su única opción de ahorro es una cuenta de ahorros con bajos intereses (quizás con una rentabilidad anual de solo el 3%), es menos probable que priorice objetivos de ahorro a largo plazo. Esto se debe a que podría no comprender plenamente el potencial de inversiones de mayor riesgo y mayor rentabilidad, como la bolsa.
En definitiva, el aspecto más importante de la educación financiera es conocer las opciones de inversión disponibles y tomar decisiones informadas según sus circunstancias individuales y su tolerancia al riesgo.